下面继续总结运动学剩余内容

5.速度运动学

作为描述物体运动的基本物理量，在前面总结的正逆运动学是关于机械臂运动过程中的位置与姿态问题。那么自然而然的产生与之相关的一连串的问题：速度、加速度、力、扭矩等等。其中力与扭矩属于动力学问题将在后面的章节中展现，而加速度作为运动学和动力学的桥梁将在两边都有涉及。那么下面来进行机械臂速度运动学相关内容的总结。

在此我首先给出速度运动学的目的：根据速度的定义，一个物体或质点（在机械臂运动中我更倾向于叫他坐标系）的速度包括线速度与角速度，其中根据广义上线速度与角速度定义：

                                       v = ds/dt                 ш = dθ/dt

在此我们知道我们描述机械臂位姿分别使用了R3x3旋转矩阵和O3x1位置矩阵来描述机械臂位姿。那么来看如何对他们进行求导得到速度。

引入概念反对称矩阵S：S转置+S = 0

S可以表示一个反对称矩阵或对一个向量进行反对称操作，具体操作为：

p = [x,y,z]   

S[p] = 

0-zy
z0-x
-yx0

那么这个样子的S反对称矩阵有什么样的特点（性质）呢？

首先根据矩阵运算的基本性质得到：

(1)S为线性操作：S（αa+βb） = αS（a） + βS（b）

(2)S(a)b = a X b           (叉乘)

(3)RS(a)R转置 = S(Ra)

(4)X转置S(a)X = 0

根据这些特点来推导旋转矩阵R的导数\dot{R} 

 可以看出，旋转矩阵的导数是旋转矩阵左乘一个反对称矩阵S。 注：对于特定的S表示特定坐标系下对于角速度向量（ωx,ωy,ωz）的S操作。

注意！这里的角速度向量，是在已知一个角速度情况下对其在xyz方向求取的分量，并不是一个对于时变数量的导数。即角速度矩阵\dot{R}不是严格意义上对旋转矩阵求导得到。

我们随后我们推广到任意坐标系间 角速度矩阵公式（具体推导省略）

                                                        \dot{R}_{n}^{0} = S(\omega _{0,n}^{0})\cdot R_{2}^{0}

                                                                          \omega _{0,n}^{0} = \omega _{0,1}^{0}+R_{1}^{0}\omega _{1,2}^{1}+....+ R_{n}^{n-1}\omega _{n-1,n}^{n-1} = \omega _{0,1}^{0} +\omega _{1,2}^{0}+...+\omega _{n-1,n}^{0}

线速度矩阵公式（省略推导）

\dot{P} = S（ω）P = ω X P

至此我们得到了如何表示线速度矩阵和角速度矩阵，以下分别记作V和W 

我们希望得到一个机械臂线速度与角速度关于其各个驱动关节的对应关系。在此处我们假设每个关节的速度为\dot{\Theta }i。将他们用矩阵表示为\dot{\Theta }。然后将一个坐标系的线速度表示为

V = Jv · ​​​\dot{\Theta }  

W = Jw · ​​​\dot{\Theta }  

 将V W组合 得到 \xi = [V,W]转置 成为体速度矩阵          其中J被成为机械臂雅可比矩阵

\xi = J  ​​​\dot{\Theta }  = [Jv,Jw]转置 · \dot{\Theta }  

 根据前面的结论，推至具体机械臂关节（每个关节只是一个方向的旋转自由度）并进行叠加，得到结论：

Jw = \sum_{i=1}^{n}\rho i Z(i-1)      = (Jw1,Jw2,....,Jwn)              \rhoi表示若为转动关节\rhoi=1，平动关节\rhoi =0

Jwi = Z(i-1) （转动关节） || 0 （平动关节）

Jv = (Jv1,Jv2,....,Jvn) 

Jvi = Z(i-1)X(On-Oi-1)  (转动)|| Z(i-1)   (平动)                O 为位置矩阵

至此我们总结了 \xi = J  ​​​\dot{\Theta }  中J的确定方法，凭借此方法，在已知DH参数和每个轴转速情况下，可以正解出末端执行器的体速度（任意坐标系速度都可求）。

在此特殊指出对于6DOF的机械臂由于其雅可比矩阵J可逆 所以 可以进行速度运动学逆解

\dot{\Theta }= J逆· \xi  

随后我们引入一个新的雅可比矩阵概念，由于上述红字的原因，我们定义一个新的雅可比矩阵叫做分析雅可比矩阵Jα ，可依靠他进行加速度矩阵逆解、手臂运动奇点确定。

其定义和奇点解耦如图

 

 加速度矩阵逆解如下

 除此以外雅可比矩阵还能表示机械臂静态力和力矩的关系


 

 

因机械臂求解过程中很多情况下并没有统一的求解方法，所以省略了许多推到步骤，这并不是说这些推导不重要，本文章只是为了梳理整体推导思路而进行归纳总结，其中各个部分详细推导如有需要请自行查阅。

至此机械臂运动学结束。感谢您的阅读，有机械臂方面兴趣请联系微信Blablabrador

# 算法 # 人工智能 # 矩阵 # 线性代数
Logo
地瓜机器人开发者社区

聚焦RDK与具身智能，汇集机器人开发教程、开源案例和技术交流

更多推荐

Minimax-h3_Singularity_v2_pruned完整指南：让中端显卡跑通AI视频生成的剪枝模型（新手必读）

**Minimax-h3_Singularity_v2_pruned** 为热门 AI 视频生成模型 MiniMax H3 提供了**剪枝 + 量化**后的精简版本（int8 / w6a8 / w4a8 三个文件），体积相比 bf16 原版大幅缩减，让显存只有 16GB～24GB 的中端显卡也能在 ComfyUI 中顺畅跑通文生视频、图生视频与参考视频生成（reference-to-video）。

avatar 地瓜机器人开发者社区

没有源码也能看穿软件？rea 用 MCP 让 AI 替你干逆向的活

你在 App 里看到某个功能特别顺手，心里琢磨"这到底是怎么实现的？"——没有源码，只有冷冰冰的编译产物。开源项目 rea（Reverse Engineer Anything，逆向一切）就是干这个的：它通过一个 MCP 服务器把逆向分析工具直接接进你的 AI 助手，让你用大白话提问，AI 就能在你本地把二进制、Electron 应用、.NET 程序甚至网站拆开看个明白，连证据和依据一并给你。[

avatar 地瓜机器人开发者社区

dsh-our-free-model 免费模型插件上手指南

想在 dsh 里写代码、聊天时直接用 DeepSeek V4.1 Flash 或 Kimi K3，又不想注册账号、不想填 API Key、不想算剩多少 token，dsh-our-free-model 就是直接的答案：把它作为插件挂进 dsh，输入框选择器里就会出现模型分组，完全免费、没有额度体系。当前版本 2.8.2，零依赖、无构建，安装就是一行 clone 加一行插件命令。## 先装起来

avatar 地瓜机器人开发者社区