旋转向量

1. 轴角法

用一个轴绕着一定角度旋转表示旋转变换
轴角法表示:$(x,y,z,\theta )$
其中包含两个部分:

• 轴:$(x,y,z)$
• 角度:$\theta$

2. 旋转向量

1. 轴角法的轴:$(x,y,z)$方向的单位向量$\vec{n}$
2. 轴角法的角度:$\theta$
   旋转向量如下:
   $$(x^i\theta ,y^i\theta ,z^i\theta )$$

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旋转向量与旋转矩阵之间的转换

$$R=\cos \theta I+(1-cos\theta )n{n}^T+sin\theta n^{\wedge }$$
通过以上公式就可以获得旋转矩阵与旋转向量的转换。
同理反向公式:
$$\theta =arccos\frac{tr(R)-1}{2}$$
$$Rn=n$$
因此对应于特征值为1的特征向量
这里介绍下反对称化符号^:
$$v=[a,b,c]$$
$$v^{\wedge }=\left[\begin{array}{ccc}0& -c& b\\ c& 0& -a\\ -b& a& 0\end{array}\right]$$
$$v^{\wedge }b=v\times b$$

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欧拉角

按固定和相对分类

• 固定轴旋转，左乘
• 相对轴旋转，右乘
• 按不同轴分类(roll-z,pitch-y,yaw-x)

XYZ

• YZY
• ZYZ
• ZYX
• 等
  欧拉角关于万向锁的问题，欧拉角比较直观，但是由于这个万向锁的问题，导致相关的迭代比较困难，因此在计算的时候，一般不用欧拉角，欧拉角一般用于输出和测试中，供认测试观看。

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四元数

四元数理解相对比较困难，我们记住一些转换既可以了。

• 欧拉角和旋转矩阵带有奇异性(如万象锁)

• 所以四元数的优势就出来了(但是四元数不直观阿，但是没有奇异性导致他计算比较有优势)
  $$q=[\cos (\frac{\theta }{2}),n_x\sin (\frac{\theta }{2}),n_y\sin (\frac{\theta }{2}),n_z\sin (\frac{\theta }{2})]$$

• 其中$n_x,n_y,n_z$为轴角法中的轴单位向量，$\theta$为旋转角

下面进一步的介绍四元数

1. 加法和减法
2. 乘法
3. 模长
   1. 模长
   2. 两模长乘法公式
4. 共厄
   1. 共厄公式
   2. 共厄和自己相乘
5. 逆
   1. 逆的公式
   2. 逆与本身相乘
   3. 括号逆
6. 数乘

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如何用四元数表示旋转

三维点 $p=[x,y,z]$:对应的四元数$[0,x,y,z{]}^T$
三维点$p^{\prime }=[x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }]$:对应的四元数$[0,x,y,z{]}^T$
q是一个单位四元数，它指定了旋转，那么转换公式如下：
$$p^{\prime }=qp{q}^{-1}$$
最后把$q^{\prime }的虚部取出来就可以了，就是转换后的坐标点$

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四元数变旋转矩阵

$$q^{+}=\left[\begin{array}{cc}s& -v^T\\ v& sI+v^{\wedge }\end{array}\right]$$
$$q^{\oplus }=\left[\begin{array}{cc}s& -v^T\\ v& sI-v^{\wedge }\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0^T& R\end{array}\right]=q^{+}{q}^{-1^{\oplus }}$$

$$R=v{v}^T+s^{2}I+2s{v}^{\wedge }+(v^{\wedge }{)}^2$$

相似-仿射-射影变换

1. 欧式变换
   正常变换，旋转加平移
2. 相似变换
   可大可小，但体积比保持不变，形状变了
3. 仿射变换
   可大可小，不但体积比不变，形状也可以变换，但平行性保持不变
4. 射影变换
   可大可小，都变了